０．記号の説明
n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。
１．自然数の体系
まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。
これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
[12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
２．帰納的定義の原理
以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。
【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))
（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。
この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。
３．自然数の加法
定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。
【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。
（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）
任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
① m+0=m
② m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
③ 0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
④ s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち
【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。
（証明）上記①から④によるが、少々長くなるので文献におまかせ。
[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
４．「１＋１＝２」の証明
上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。
さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、①②によって
⑤ s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。
ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば⑤より
s(1)=1+1
∴ 2=1+1 （証明終）
《参考文献》
岩波 「代数系入門」松坂和夫著
岩波文庫 「数について」デーデキント著 河野伊三郎
>>454
お前さ何人？
謎々では田圃の田
現実では1や0や2やそれ以上
数学的には2又は約2
すべて妥当なんだよ
な？その一般やら普通やらもお前の勝手な憶測わかる？
>>455
例ってのがわかってないな。
幾つか可能性があるその一つを否定してるから他を考えろよ
だからいつまでたっても裏ネオのアホと言われるんだなぁ
>>462
それまでのやり取り見直せよ
幼稚園児のぐるぐるぱんちww
>>464
色々あるなかで可能性としてどれが多いかということです
>>457
>>460
すまないがそうだとしたら、この話の終止符はどちらも妥当
どちらの例が多いかって、その例ってなにかめちゃくちゃ曖昧なんだけど、何が言いたいのかわからない 例の多さでこの話の可能性の傾きが決まらないけど、おまえ説明濁しすぎ全くなんのこと言ってるかわかんないぞ
>>470
数学だけでとかじゃなくて
全体でってこと。
数学の範囲で議論したら勝ち目ない。
>>447
どれだけかけ離れてるかを示すための例え…その例え自体が見事にかけ離れてしまっている
誰も喧嘩に煽り入れるななんて言ってないだろ
反論に煽りを入れるんじゃなくて煽り大半の中に反論が申し訳程度に混じってるレスがムダだらけだって言ってるの
だから何度も言ってるでしょ
数学以外の見方で「２」以外の解答を見出したとしても
数学において「２」を解とできることへの否定にはならないって
最初から数学的な可能性を排除でもしてるのか…
どんだけ別解釈で「２」以外の解を出しても「２」の否定には至らないって繰り返してるじゃん…
＞じゃお前の反論は泣き言ばかり
＞とでもいえるし
いつ私が泣き言言った？
事実に基づかないことならそりゃ何だって言えるよ
私は事実に基づいて言ってるの
もうね、降参しろ降参しろってそこまで降参してほしいの？
詰んでたらそう言いたくなるのも分かるけどね
>>449
引用の最初の文字が数字だったからレスアンカーになっちゃったよ
で、そんなことを攻撃材料に使わなければいけないほど困ってるんだね
>>471
本を一冊もっていたそして新しく一冊勝った合わせて二冊
とか？
そういう例がどっちのが多いのかなということ
一応いうがこれ可能性決まらねえぞ？
例が多いほうが妥当って仮定に乗っても、例が多くてもその例に積まれた印象操作クオリティによって変わるんだよなあ
>>472
“集合”って分かる？“全体集合と部分集合”
例えば、十進法なら1+1=2は揺るぎない事実だよね
けどそれは2進法ならありえない答えとなる。1+1=10が正解
次は“数学的には”っていう部分を考える。一般的に数学においては十進法を用いるから正直苦しいけど、言ってしまえば1も10も答えとしてありえる。
最後に“全体では”を考える。ここでは数学の括りなんてあったもんじゃない、1+1=3かも知れないし1+1=田もありえる。でもさ、全体にした途端“1+1=2が正しい”という揺るぎない事実はどっか消えるの？アリエナイでしょ。
>>473
かけ離れてるのはわかるよね？
おっさんにあわせたんだよおっさん
頭下げろや
半々以上じゃね？
それともおっさんが心が弱すぎてなにもかも煽りに見えちゃうだけ？
かわいそーおっさん
ムダなんて言ってないな煽りガー悪口ガーと言ってただけお前ほんとにおっさん？
可能性論で否定はできる
天動説が一般的だった頃は地動説がただしくても天動説がただしいとなっていた
数学でも全体から見たら間違いにもなる、
アホすぎ
で？言えると言ったまででそうだとはいってないわかれよ。
おっさんは残念だな
事実？こっちからしたら事実じゃない
そのまま事実！事実！とわめけわめけ
お前が思ったよりバカすぎるから降参しろっていってんの自覚しろ
普通に恥でしょ
それに必死こいて言い返してるやつ
攻撃とかじゃなくてほとんど独り言
それでもおまえのイメージを悪くできるね(性格とかそーゆーイメージじゃない)
ばかなんだからちゃーーんとかいてあげたぞ！
>>476
できるだろ
数学以外もあるから否定できるんだろ
謎々で否定できる
否定するだけなら簡単簡単＾＾
知恵遅れおっつおっつ＾＾
>>478
消えるとかじゃないのよ
数学なら十進法で=2以外は論外
でも他もあるなら否定できるし一番あるものを取れる
>>482
味噌？
クオリティの質量が分からない限りこの話終わらねえよこいつばか( ＾∀＾)ププーププー
>>479
私が言ってるのは例示そのものがズレててかけ離れてるってこと
つまり三笠の思考がかけ離れてるってことを言ってるのに
勝ち誇って「頭下げろや」ってますますボケボケになってる…
昇進できないとか身長低いだとか
そんなのがムダ煽り以外の何だと言うのか
まさかアレが反論の一部だとでも思っていたのか…？
＞天動説が一般的だった頃は地動説がただしくても天動説がただしいとなっていた
＞数学でも全体から見たら間違いにもなる、
で1+1=2が正しくなかった時代っていつの事よ？原始時代？…いやそれでも正しかったよね
しかも何、今は天動説が一般だった時代なの？なんの話にぶっ飛んでるんだよもう
その「全体」に数学も含まれている以上間違いにはならないって何度言わせるの
＞で？言えると言ったまででそうだとはいってないわかれよ。
じゃあアレは何も言ってなかったのか、まさに究極のムダ
＞事実？こっちからしたら事実じゃない
煽りと反論の行数を比較して、煽り>>反論だから言ったことだが…
事実から目を背けたくなる気持ちだけは理解してあげよう
＞普通に恥でしょ
引用の先頭文字が数字だったからレスアンカーになっちゃった…それだけ
喧嘩の内容とはまるで無関係なことに必死に焦点を当てなきゃならないんだね
三笠自分で出したお題よーく考えろ
「1+1=2は正しいか否か」
なんだから「正しい」に対しては「正しくない」と反論しなきゃならないわけ
それが、「数学以外の考え方をしたら正しくない場合もあり得る」みたいな可能性論では否定になってないわけよ
「正しいか否か」なんだから「正しくない場合もある」じゃ否定になってない
「正しくない」と言わないと「否」に至らないの
もともとお題が無理筋だから、私は噛み合わないことになるって最初に言ったわけ
数学とは別世界の前提を出さなければいけないわけだからね
>>493
まさか南雲が胸の内にそんなモノ抱えてたなんてw
日向ちゃんももし喧嘩になったらなんて言われるか、、、怖いなぁw
>>481
全体で見ても数学の答えとしては確実に存在してるから正しいことは否定できないじゃん
そのなぞなぞって、こういう見方もありますよってだけの話だろ
>>495
日向ちゃん相手ならこうはいかないと思うよ
>>496
三笠に勝った人は数多いから勝っても強い証拠にはならないけどね
>>497
そうそう
まあ三笠は多分負けは織り込んで挑んできたと思うから意外な展開にはなってないだろうけど
>>498
俺が初心者だった時って
まだ喧嘩界なんて知らなくて
雑談サイトに現れる荒らしを叩くあり溢れた自治厨だったぞw
>>367辺りのスタートダッシュ切れなかった時用のネタに逃げれそうな
踏み込むに踏み込めないその中途半端な感じから始まってんのかよこれ
御愁傷様w