数理論理学は、形式論理学とも呼ばれ、形式論理学の数学への応用を探求する数学の一分野です。数学の基礎であるメタ数学、哲学、理論計算機科学などと密接な関係があります。形式的なシステムの表現力と形式的な証明システムの演繹力を研究するのが数理論理学の統一テーマである。
数理論理学は、集合論、モデル論、再帰論、証明論などの分野に分けられます。これらの分野では、論理（特に一階論理）と定義可能性に関する基本的な結果が共有されています。コンピュータサイエンスでは（特にACM分類では）数理論理学はこの記事では詳しく述べていない追加のトピックを包含しています。それらについては、コンピュータサイエンスにおける論理学を参照してください。
数理論理学は、その誕生以来、数学の基礎の研究に貢献し、またその研究が動機となってきました。この研究は、19世紀後半に幾何学、算術、解析学の公理的枠組みの開発から始まりました。20世紀初頭には、デビッド・ヒルベルトが基礎理論の一貫性を証明しようとしたことがきっかけとなって、この研究が始まりました。その後、クルト・ゲーデルやゲルハルト・ゲンツェンなどの成果により、この計画は部分的に解決され、無矛盾性の証明に関わる問題が明らかになりました。集合論の研究では、一般的な数学のほとんどが集合で形式化できることが示されましたが、集合論の一般的な公理系では証明できない定理もあります。現代の数学基礎論では、すべての数学を発展させるための理論を見つけることよりも、数学のどの部分が特定の形式システムで形式化できるかを確立すること（逆数学のように）に重点が置かれることが多い。

サブフィールドと範囲
1977年に出版された『Handbook of Mathematical Logic』では、現代の数理論理学を4つの分野に大まかに分けています。
1.集合論
モデル理論
再帰理論、および
証明論と構成的数学（1つの分野の一部として考えられている）。
それぞれの分野は明確な焦点を持っていますが、多くの技術や結果は複数の分野で共有されています。これらの分野の境界線や、数理論理学と他の数学分野との境界線は、必ずしも明確ではありません。ゲーデルの不完全性定理は、再帰理論や証明論における画期的な出来事であるだけでなく、様相論理におけるレープの定理にもつながっています。また、集合論、モデル論、再帰理論、直観主義数学の研究などにも強制法が用いられています。
カテゴリー理論という数学の分野では、形式的な公理的手法が多く用いられており、カテゴリー論理の研究も含まれていますが、カテゴリー理論は通常、数理論理学のサブフィールドとはみなされていません。カテゴリー理論は、数学の多様な分野に応用できることから、サンダース・マックレーンをはじめとする数学者たちは、集合論とは独立した数学の基礎体系としてカテゴリー理論を提唱している。これらの基礎には、古典論理や非古典論理を用いた集合論の一般化モデルに似たトポースが用いられている。

歴史
数理論理学は、19世紀半ばに、哲学的な形式論理学と数学の2つの伝統の合流点を反映して、数学のサブフィールドとして登場しました。"数理論理学は、「logistic」、「symbolic logic」、「algebra of logic」、さらに最近では単に「formal logic」とも呼ばれ、前世紀の過程で人工的な記譜法と厳密な演繹法を用いて精緻化された論理理論の集合である。" この出現以前の論理学は、レトリックと一緒に、計算機と一緒に、シラギズムを通して、哲学と一緒に研究されていました。20世紀前半には、基礎的な結果が爆発的に増加し、それに伴って数学の基礎をめぐる活発な議論が行われた。

初期の歴史
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論理学の理論は、中国、インド、ギリシャ、イスラム世界など、歴史上多くの文化圏で発展してきた。ギリシャの方法、特に『オルガノン』に見られるアリストテレスの論理学（または用語論理学）は、何千年にもわたって西洋の科学や数学に広く応用され、受け入れられてきました。また、ストア派のクリシッポスが述語論理を開発した。18世紀のヨーロッパでは、ライプニッツやランバートなどの哲学的数学者が、形式論理の操作を記号的、代数的に扱おうと試みていたが、彼らの研究は孤立しており、あまり知られていなかった。

19世紀
19世紀半ば、ジョージ・ブールとオーガスタス・デ・モルガンが、論理学の体系的な数学的取り扱いを発表した。ジョージ・ピーコックなどの代数学者の研究を基に、伝統的なアリストテレスの論理学を、数学の基礎を研究するのに十分な枠組みに拡張したのである。ブールの研究を基にして、関係と量詞の論理体系を構築し、1870年から1885年にかけていくつかの論文を発表した。
フレーゲは、1879年に出版された『Begriffsschrift』で、量詞を用いた論理学を独自に発展させ、論理学の歴史に大きな転機をもたらしたと考えられている。しかし、世紀末になってバートランド・ラッセルがこの研究を推進するまでは、フレーゲの研究は無名であった。フレーゲが開発した二次元表記法は、広く普及することなく、現代のテキストでは使われていない。
1890年から1905年にかけて、エルンスト・シュレーダーは『論理学の代数に関する研究』を全3巻で出版した。ブール、デ・モルガン、ピースの研究をまとめ、さらに発展させたもので、19世紀末に理解されていた記号論理学の総合的な参考書となった。